今回は、いろいろな数列や数表の問題を勉強します。今まで学んだ等差数列(4年上第14回)、周期(4年上第13回)などの考え方を応用します。数列に慣れていないと難しいかもしれないので、基本となる等差数列や周期の考え方をしっかりと確認しながら問題にチャレンジしいきましょう。（四谷大塚 予習シリーズ算数 五年上の解説です。テキストは四谷大塚から購入してください。)
解説
いろいろな数列や数列を表にした数表について勉強していくよ。4年のときに勉強した、等差数列(4年上第14回)や周期(4年上第13回)の考え方を使っていく。これらの基本がしっかり理解できていないと、かなり苦戦することになるので、自信がない人は復習しておこう。
階差数列
1, 2, 4, 7, 11,…という数列を考えてみるよ。数列がでたら、まず次の値と差をチェックするが基本だ。
この数列では、差は一定ではなくて、1，2，3，4と等差数列になっている。このような数列を「階差数列」と呼んでいる。この数列は、
となるので、N番目の数は、「最初の数」と「等差数列の和」の合計で求めることができる。等差数列の個数はNより1つ少なくなることも要チェックだね。
ところで、等差数列の和の求め方は大丈夫かな？復習のために等差数列のN番目の数と和の考え方をのせておく。
上の図のような階段を2つ合わせたイメージでしっかり覚えておこう。
四角数
ご石を正方形にならべた個数は、1×1=1、2×2＝4、3×3＝9、…と同じ数をかけ合わせた数になる。これを「四角数」と呼ぶよ。「平方数」とも呼ぶこともあるので、両方覚えておこう。この平方数は、1＋3＋5＋7＋‥‥のように、奇数をならべた数列の和になっていることも理解しておこう。
これ以外にも、四角数となるならがあり、それが問題として出てくる。
- 正方形の形に並べる
- 1＋3＋５＋・・・のように、奇数をならべた数列の和になる
という性質から四角数を見つけよう。ご石のならび以外にも次のような並びがあるよ。
さて、四角数(平方数)はよく出てくる数字なのでできれば覚えておくといい。1×1～10×10は大丈夫だよね。11×11～19×19の平方数について、ごろ合わせを参考にのせておくね。
三角数
ご石を正三角形にならべた個数は、1、1＋2=3、1+2+3＝6、1+2+3+4=10、…と、1からの数の和になる。これを「三角数」と呼ぶよ。N番目の三角数は、1～Nまでの数の和になるので
N 番目の三角数 ＝ 1＋2＋3＋…＋N ＝ (1＋N) ×N÷2
となる。公式として丸暗記するではなくて、等差数列の和をイメージして解けるようにしよう。
これ以外にも、三角数となるならびとして、次のようなものがある。
- 正三角数の形に並べる
- 1＋2＋3＋・・・のように、1から連続した数の和になる
という性質から三角数を見つけよう。
パスカルの三角形
一番上と各段の両はしの数が1で、それ以外は、左上と右上の数の和となっている数のならびの三角形を「パスカルの三角形」というんだ。パスカルの三角形には、いろいろな性質があるよ。
パスカルの三角形の性質
- 1から連続した整数の列が現れる
- 三角数の列が現れる
- 各段の和は2×2×2×…になる
なかなか面白いけど、これらの性質を使った問題が出題されるので要注意だ。
練習問題
2つの数の倍数でない数列
奇数がならんだ数列の組分け
四角数の数表
三角数の数表
パスカルの三角形
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